تبلیغات
انجمن علمی ریاضی بسیج دانشجویان دانشگاه یاسوج - یک سوال
سه شنبه 19 اردیبهشت 1385
یک سوال

برای هر x,y,z حقیقی و مثبت نشان دهید كه

 x3/(yz) + y3/(zx) + z3/(xy) ≥ x + y + z و بگویید حالت تساوی چه موقع رخ می دهد.

حل: می دانیم

                                         (x4 + y4)/2 ≥ x2y2

معادله به صورت تساوی است اگر و تنها اگر x=y. با بازنویسی رابطه بالا برای x,z و y,z و جمع عبارتهای به دست آمده داریم:

                             x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2

كه تساوی هنگامی رخ می دهد اگر و تنها اگر x=y=z. همچنین:

                            (x2y2 + y2z2)/2 ≥ xy2z

در اینصورت

                              x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥xyz(x + y + z)

بنابراین

                             x4 + y4 + z4 ≥ xyz(x + y + z)

و حالت تساوی پیش می آید اگر و تنها اگر x=y=z. با تقسیم عبارت حاصل بر xyz به نتیجه دلخواه می رسیم.


[+] نوشته شده توسط مصطفی دلیرپور در ساعت 01:05 ق.ظ | موضوع: مسئله ها و سوالات , | نظر |