تبلیغات
انجمن علمی ریاضی بسیج دانشجویان دانشگاه یاسوج - مساله های جالب ریاضی
پنجشنبه 28 اردیبهشت 1385
مساله های جالب ریاضی
فرض كنید :
-
۱۰۰
نفر آدم با هوش در یك سالن زندانی هستند.
- حداقل یك نفر و حداكثر همه آنها دارای یك خال بر روی صورتشان هستند.
- هیچ كدام از این افراد نمی دانند كه آیا خود دارای خال هستند یا نه.
- به آنها گفته شده كه به ازای هر آدم خال دار یك شبانه روز ( نه كمتر و نه بیشتر) مهلت دارند كه آدم های خال دار از سالن بیرون بیایند.
- این افراد نمی توانند هیچ ارتباطی با افراد دیگر موجود در سالن برقرار كنند.
- تنها ارتباط موجود دیدن صورت افراد دیگر است.
- به هیچ امكانی هم دسترسی ندارند كه صورت خود را ببینند.
- خلاصه پیغام و پیام و آینه و .... ممنوع است.
- تعداد افراد خال دار معلوم نیست.
سؤال : با چه روشی ممكن است كه فقط افراد خال دار در پایان مهلت تعیین شده (
n روز به ازای n خال دار) از سالن خارج شوند؟
 جواب - > فرض کنین یه نفر تو قبیله خال داشته باشه. اون فرد خالدار بقیه قبیله رو میبینه که هیچ کس خالدار نیست ولی چون رییس قبیله گفته اینجور افراد حتما وجود دارند، نتیجه میگیره فقط خودش خالداره و همون روز اول خودش رو میکشه. از طرف دیگه بقیه افراد بدون خال میبینن یه نفر خال داره ولی خودشون نمیدونن خال دارن یا نه. مثل بالا برای خودشون استدلال میکنن که اگه خودشون خال نداشته باشن اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خودشون خال داشته باشن اون فرد دیگه امروز رو منتظر خواهد موند. اون فرد خالدار روز اول خودشو میکشه و بقیه میفهمن که خودشون خالدار نبودن. این از یکی.
حالا برای دو نفر همین استدلال رو تکرار کنین. فرض کنین دو نفر تو قبیله خال دارن. اونی که خالداره میبینه یه نفر تو قبیله خال داره ولی نمیدونه خودش هم خال داره یا نه. با خودش میگه اگه من خال نداشته باشم اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خال داشته باشم باید منتظر بمونه. اون فرد دیگه هم همین جور استدلال میکنه و هر دوشون روز اول رو کاری نمیکنن و منتظر میمونن. در نتیجه میفهمن که هر دو تا خالدارن و روز دوم خودشون رو میکشن. اما اونایی که خال ندارن میبینن دو نفر تو قبیله خال دارن. اونا دو روز صبر میکنن تا سرنوشت این دو تا معلوم بشه و چون روز دوم اون دو نفر خودشون رو میکشن میفهمن که خودشون خال نداشتن.
به همین ترتیب میتونین برای سه نفر و چهار نفر و ... تکرار کنین استدلال رو. در نتیجه اگه
n نفر خالدار باشن تا روز n-1 ام صبر میکنن و بقیه که خال ندارن تا روز n ام. روز n ام افراد خالدار دسته جمعی خودشون رو میکشن و از اینجا بقیه میفهمن که خودشون خال ندارن. یعنی تا صبح روز n+1
فرد خالداری تو قبیله وجود نخواهد داشت. پس تو این قبیله ما 7 نفر خالدار بودن چون تا صبح روز هشتم دیگه فرد خالداری تو قبیله نبوده


- معمای حساب استدلالی
در زمان قدیم كه روستاییان محصولات خودشان را بمیدان برای فروش می آ وردند یك زن روستایی یك سبد تخم مرغ بمیدان آورده كه بفروشد. هنوز هیچ نفروخته بود كه اسب یك سوار پاش خورد بسبد تخم مرغ. نتیحتا بیشتر تخم مرغ ها شكستند.
اسب سوار خیلی نا راحت شد واز روستایی پوزش خوا ست و حاضر شد پول همه آنهارا بپردازد.
اسب سوار از روستایی سوال كرد": "مادر جون چند تا تخم مرغ داشتی؟"
خانم در حواب گفت:
"تعدادشونو نمیدو نم اما وقتی آنهارا دوتا دوتا بر میداشتم یكی باقی میموند وقتی سه تا سه تا بر میداشتم یكی باقی میموند, وقتی چهارتا چهارتا بر میداشتم یكی باقی میموند, وقتی پنحتا پنحتا بر میداشتم یكی باقی میموند, وقتی شش تا شش تا بر میداشتم یكی باقی میموند, اما وقتیكه هفت تا هفت تا بر میداشتم هیچی باقی نمیموند. اسب سوار حساب كرد و پول تخم مرغای زن را داد.
سوال كمترین تعداد تخم مرغی كه زن روستایی میتوانست داشه باشد چندتا بود؟

جواب-> می‌شه 
۳۰۱
منطقش اینه كه باید كوچكترین عددی رو پیدا كنیم كه باقیمانده‌اش وقتی تقسیم به اعداد
۲ تا ۶ می‌شود باید یك باشه و این عدد مضربی از هفت باشه از روش دیگر اگر بخواهیم بررسی كنیم می بینیم كه a-1بر ۲و۳و۴و۵و۶ بخشپذیر است و از طرف دیگر aبر ۷ بخشپذیر می باشد.ك.م.م اعداد ۲و۳و۴و۵و۶ عدد ۶۰ می باشد اما ۶۰ نمی تواندa-1 باشد زیرا ۶۱ بر۷ بخشپذیر نیست.60*2را بجای a-1 در نظر می گیریم مطلوب نیست ۳*۶۰ را در نظر می گیریم بازهم نمی شود.۴*۶۰ نیز همینطور زیرا ۲۴۱ بر۷ بخشپذیر نیست.اما ۶۰*۵ درست است زیرا عدد ۳۰۱ بر ۷ بخشپذیر است.بنابراین كوچكترین عدد با شرایط مساله ۳۰۱
می باشد كه صابر با برنامه اش به آن رسید.
منبع: گفتمان


- یك فردی اسیر است و باید نجات پیدا كند و برای او دو مسیر فرار وجود دارد.یكی نجات و دیگری نابودیست سر هر كدام از این راهها یك نفر ایستاده یكی كاملا دروغ گو و دیگری كاملا راستگو این فرد با یك سوال چگونه می تواند راه صحیح را پیدا كند ؟( فقط یك سوال و فقط از یك نفر - راستگو و دروغگو مشخص نیست - راه برگشتی هم نیست )

جواب -> از یکی از انها، فرق ندارد کدام، میپرسه:
اگر از ان نگهبان دیگری بپرسم که آیا او سر راه آزادی ایستاده اون چه میگوید؟
این نگهبان هر چی گفت بر عکسش راه نجات خواهد بود...
اگر گفت آره، برعکسش ، یعنی ان راه نجات نیست و همینی که این ایستاده درست است...
اگر گفت نه، بازم برعکسش ، یعنی آری ان راه نجات است و اینی که ما ازش پرسیدیم راه نابودی...
این معمّای زیبا از اصل ریاضیات جدید (قوانین گزاره ها) حل میشه. برای این مساله :
p) = p
~) ~ ، که یعنی نقیض نقیض هر گزاره هم ارز است با خود گزاره...
بدهی


- سوال:100 جعبه قند داریم كه در هر كدام 100 حبه قند موجود است و وزن هر حبه قند
a گرم است.اگر یكی از جعبه های قند شامل حبه هایی به وزن a-1 گرم باشد چگونه می توان با یكبار وزن كردن،جعبه شامل حبه های دارای وزن كمتر را یافت؟

-> جواب:جعبه ها را به ترتیب چیده و از 1 تا 100 شماره گذاری می كنیم،سپس از هر جعبه به تعداد شماره جعبه حبه هایی بر می داریم(مثلا از جعبه شماره 1 یك حبه،از جعبه 2 دو حبه و ...و از جعبه 100 صد حبه)بعد از آن كل حبه های انتخاب شده را وزن می كنیم و وزن آنرا
m گرم فرض می كنیم.اگر m‌را از 5050a كم كنیم شماره جعبه شامل حبه های سبكتر به دست می آید.
[+] نوشته شده توسط مصطفی دلیرپور در ساعت 03:05 ق.ظ | موضوع: مطلب ریاضی , | نظر |